ALJABAR ABSTRAK

1.OPERASI BINER

Perkalian adalah operasi matematika penskalaan satu bilangan dengan bilangan lain. Operasi ini adalah salah satu dari empat operasi dasar di dalam aritmetika dasar (yang lainnya adalah perjumlahan, perkurangan, dan perbagian).
Perkalian terdefinisi untuk seluruh bilangan di dalam suku-suku perjumlahan yang diulang-ulang; misalnya, 3 dikali 4 (seringkali dibaca "3 kali 4") dapat dihitung dengan menjumlahkan 3 salinan dari 4 bersama-sama:
3 \times 4 = 4 + 4 + 4 = 12.\!\,
Perkalian bilangan rasional (pecahan) dan bilangan real didefinisi oleh perumumam gagasan dasar ini.
Perkalian dapat juga digambarkan sebagai pencacahan objek yang disusun di dalam persegi panjang (untuk semua bilangan) atau seperti halnya penentuan luas persegi panjang yang sisi-sisinya memberikan panjang (untuk bilangan secara umum). Balikan dari perkalian adalah perbagian: ketika 3 kali 4 sama dengan 12, maka 12 dibagi 3 sama dengan 4.
Perkalian diperumum ke jenis bilangan lain (misalnya bilangan kompleks) dan ke konstruksi yang lebih abstrak seperti matriks.

Catatan

Matematika merupakan ilmu dasar yang mendasari semua penerapan dalam kehidupan nyata. Contoh penerapan nyata adalah dalam bidang medis. Ketika kita mendapatkan obat dari dokter 3x1 berarti 3 kali dalam sehari (pagi, siang, malam) masing-masing 1 (pil). Bukan sebaliknya, 1 kali dalam sehari 3 (pil).
Hal ini perlu diperhatikan karena prosesnya sangat berbeda antara 3x2 dan 2x3. Seringkali kita berfokus pada hasilnya yang sama-sama 6. Penjelasan dalam bidang medis akan sangat jelas: 3x2 berarti 3 kali dalam sehari masing-masing 2 (pil) sedangkan 2x3 berarti 2 kali dalam sehari masing-masing 3 (pil). Dengan demikian, penjabaran dalam penjumlahan : 3x2 = 2 + 2 + 2; sedangkan 2x3 = 3 + 3.
Penekanan proses ini merupakan kewajiban bagi pengajar dan penulis buku tentang perkalian. Proses ini akan konsisten untuk diterapkan dalam bidang selain medis. Contohnya dalam ekonomi, 4 anak membeli 1 buku @ Rp. 1.000. Penulisan dalam bentuk perkalian adalah : 4 x Rp. 1.000. Penulisan dalam bentuk penjumlahan adalah : Rp. 1.000 + Rp. 1.000 + Rp. 1.000 + Rp. 1.000.
Menurut saya, matematika bukanlah hasil semata namun sebuah proses yang menarik dan menyenangkan yang dapat menjelaskan semua hal nyata dalam kehidupan.
2.DIMENSI
Dalam penggunaan umum, dimensi berarti parameter atau pengukuran yang dibutuhkan untuk mendefinisikan sifat-sifat suatu objek—yaitu panjang, lebar, dan tinggi atau ukuran dan bentuk. Dalam matematika dan fisika, dimensi adalah parameter yang dibutuhkan untuk menggambarkan posisi dan sifat-sifat objek dalam suatu ruang. Dalam konteks khusus, satuan ukur dapat pula disebut "dimensi"—meter atau inci dalam model geografi, atau biaya dan harga dalam model ekonomi.
Sebagai contoh, untuk menggambarkan suatu titik pada bidang (misalnya sebuah kota pada peta) dibutuhkan dua parameter— lintang dan bujur. Dengan demikian, ruang bersangkutan dikatakan berdimensi dua, dan ruang itu disebut sebagai bersifat dua dimensi.
Menggambarkan posisi pesawat terbang (relatif terhadap bumi) membutuhkan sebuah dimensi tambahan (ketinggian), maka posisi pesawat terbang tersebut dikatakan berada dalam ruang tiga dimensi (sering ditulis 3D). Jika waktu ditambahkan sebagai dimensi ke-4, "kecepatan" pesawat terbang tersebut dapat dihitung dengan membandingkan waktu pada dua sembarang posisi.
A.DIMENSI FISIS
Dimensi fisis adalah parameter-parameter yang dibutuhkan untuk menjawab pertanyaan di manakah dan bilamanakah sesuatu terjadi; misalnya: Kapankah Napoleon meninggal? — Pada tanggal 5 Mei 1821 di pulau Saint Helena (15°56′LS 5°42′BB). Dimensi fisis memainkan peran mendasar dalam persepsi seseorang terhadap sekitarnya.
B.DIMENSI RUANG
Teori-teori fisika klasik mendeskripsikan tiga dimensi fisis: dari titik tertentu dalam ruang, arah pergerakan dasar yang mungkin adalah ke atas atau ke bawah, ke kiri atau ke kanan, dan ke depan atau ke belakang. Sembarang pergerakan dapat diungkapkan dengan hanya tiga dimensi tersebut.
Bergerak ke bawah samalah dengan bergerak ke atas secara negatif. Bergerak diagonal ke depan atas samalah dengan bergerak dengan kombinasi linear ke depan dan ke atas. Dimensi fisis ruang dapat dinyatakan paling sederhana sebagai berikut: suatu garis menggambarkan satu dimensi, suatu bidang datar menggambarkan dua dimensi, dan sebuah kubus menggambarkan tiga dimensi.
C.DIMENSI WAKTU
Waktu sering disebut sebagai "dimensi keempat".Hal ini menyediakan jalan bagi pengukuran perubahan aspek-aspek fisika. Hal ini dilihat secara berbeda bahwa dari tiga dimensi spasial hanya ada satu dimensi, dan pergerakannya terlihat selalu memiliki nilai pasti dan sejajar dengan waktu (searah).
Persamaan-persamaan yang digunakan oleh ahli fisika untuk menyatakan model realitas seringkali tidak memperlakukan waktu sebagaimana manusia memandangnya.Misalnya, persamaan klasikal mekanik yang adalah T-simetri (bersimetri dengan waktu) dengan persamaan dari mekanika kuantum sebenarnya bersimetri jika waktu dan kuantitas lain (seperti C-simetri (charge)) dan fisika paritas dibalikkan.Pada model ini, persepsi waktu mengalir kesatu arah adalah artefak dari hukum-hukum termodinamika.(Kita melihat waktu mengalir kearah peningkatan (entropi).
Orang yang paling terkenal memandang waktu sebagai dimensi adalah Albert Einstein dengan teori relativitas umum yang memandang ruang dan waktu sebagai bagian dari dimensi ke empat.
D.DIMENSI TAMBAHAN
Teori fisika seperti teori untai (string theory) meramalkan bahwa ruang tempat kita hidup sesungguhnya memiliki banyak dimensi (sering disebutkan 10, 11, atau 26), namun semesta yang diukur pada dimensi-dimensi tambahan ini berukuran subatom. Akibatnya, kita hanya mampu mencerap ketiga dimensi ruang yang memiliki ukuran makroskopik.
E.SATUAN
Dalam ilmu-ilmu fisis dan teknik, dimensi suatu besaran fisika adalah ekspresi atas kelas satuan fisika besaran tersebut. Contohnya, dimensi kecepatan adalah panjang dibagi waktu. Dalam sistem SI, dimensi dimiliki oleh tujuh besaran dasar. Lihat Analisis dimensi.
3.VEKTOR (SPASIAL)
Vektor dalam matematika dan fisika adalah obyek geometri yang memiliki besar dan arah. Vektor jika digambar dilambangkan dengan tanda panah (→). Besar vektor proporsional dengan panjang panah dan arahnya bertepatan dengan arah panah. Vektor dapat melambangkan perpindahan dari titik A ke B.[1] Vektor sering ditandai sebagai
\overrightarrow{AB}.
Vektor berperan penting dalam fisika: posisi, kecepatan dan percepatan obyek yang bergerak dan gaya dideskripsikan sebagai vektor.

Panjang Vektor

Untuk mencari panjang sebuah vektor dalam ruang euklidian tiga dimensi, dapat digunakan cara berikut
\left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}

Kesamaan dua vektor

Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya memiliki panjang dan arah yang sama

Kesejajaran dua vektor

Dua Buah Vektor disebut sejajar (paralel) apabila garis yang merepresentasikan kedua buah vektor sejajar.
Operasi Vektor

Perkalian skalar

Sebuah vektor dapat dikalikan dengan skalar yang akan menghasilkan vektor juga, vektor hasil adalah:
r\mathbf{a}=(ra_1)\mathbf{i}
+(ra_2)\mathbf{j}
+(ra_3)\mathbf{k}

Penambahan vektor dan pengurangan vektor

Sebagai contoh vektor a=a1i + a2j + a3k dan b=b1i + b2j + b3k.
Hasil dari a ditambah b adalah:
\mathbf{a}+\mathbf{b}
=(a_1+b_1)\mathbf{i}
+(a_2+b_2)\mathbf{j}
+(a_3+b_3)\mathbf{k}
pengurangan vektor juga berlaku dengan cara yang kurang lebih sama

Vektor satuan

Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang 1 satuan panjang. Vektor satuan dari sebuah vektor dapat dicari dengan cara:
\mathbf{\hat{a}} = \frac{\mathbf{a}}{\left\|\mathbf{a}\right\|} = \frac{a_1}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{\hat{i}} + \frac{a_2}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{\hat{j}} + \frac{a_3}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{\hat{k}}

0 komentar: